数学史话之无穷的集合康托尔

吉林省科技馆 2018-04-17 05:42:07

自从芝诺提出四大悖论开始，已经过去了两千多年了，人类虽然认识到了悖论存在的根源是关于"无穷"的概念，但是如何去把握和认识"无穷"，却让人类花了两千年时间而不可得。历史的车轮来到了19世纪末，一个在学术上备受打击的睿智的年轻人终于站了出来，用一己之力描绘了一幅人类智慧的精品，完成了数学"无穷"的革命。他就是本文的主角--德国数学家--康托尔。

格奥尔格·费迪南德·路德维希·菲利普·康托尔

格奥尔格·费迪南德·路德维希·菲利普·康托尔于1845年出生在俄国的圣彼得堡，他是个犹太人，但是他们全家都是基督徒，这可能也是后来康托尔性格有些分裂的原因。康托尔12岁的时候，他们全家搬去了德国，到他15岁的时候，他的数学天赋已经显露了出来，他想成为一个数学家，但是他的父亲强迫他学习工程。康托尔不像黎曼那样去跟自己的父亲据理力争，而他的父亲也不像黎曼的父亲那样善解人意，康托尔只是顺从地按照父亲选的道路去前进。这又是康托尔性格中软弱的地方，他总是对自己很不自信，总是希望通过自己的改变来取悦别人。所以后来克罗内克恶毒攻击他的集合论的时候，康托尔不是想办法去争锋相对，而是开始怀疑自己的价值。这也是造成他后来精神分裂的原因之一。

圣彼得堡

康托尔的父亲后来认识到了自己的错误，所以当康托尔17岁中学毕业时，还是同意了他去学习数学。他先是来到苏黎世大学学习，第二年由于他父亲的去世，他又转学去了柏林大学，专攻数学、哲学和物理，只不过康托尔只对数学和哲学有兴趣，而对物理完全无爱。康托尔在柏林大学时的数学指导老师包括库默尔、魏尔斯特拉斯和以后一生的敌人克罗内克（不知道为什么，很多小个子的人攻击性总是特别强，可能是因为从小由于个子小而产生的不安全感造成的，克罗内克就是个怼天怼地的人）。柏林大学当时由于库默尔、克罗内克的存在，所以算术气氛很浓厚。康托尔在大学期间就钻研了高斯的七封印之书《算术研究》，并以此写出了他的博士论文，在文中他讨论了高斯留下的关于不定方程ax^2+by^2+cz^2=0的x,y,z整数解的难点，并以此论文获得了博士学位。

康托尔像黎曼一样，在博士毕业两年后进入哈雷大学当了一名没有薪俸的老师，1872年他被任命为讲师，到了1879年又被任命为教授。康托尔从一开始就受威尔斯特拉斯的影响，从三角级数理论--特别是傅里叶级数--进入到了数论分析中去。这个理论由于无穷级数的收敛性问题而变得异常困难，康托尔不得不深入到其中去研究理论背后的哲学基础，这样他就开始了"无穷"这个概念本身的数学和哲学问题的全面的分析和研究，而这也是关于连续、极限和收敛等等问题的基础。1872年他在《数学年鉴》上发表了一篇题为《三角级数中一个定理的推广》的论文，把唯一性的结果推广到允许例外值是某种无穷的集合情形。为了描述这种集合，他首先定义了点集的极限点，然后引进了点集的导集和导集的导集等有关重要概念。这是从唯一性问题的探索向点集论研究的开端，并为点集论奠定了理论基础。康托尔在29岁的时候写出了第一篇关于无穷级数的革命性的论文，在这篇论文中，康托尔第一次建立了"全部代数数集合"这个概念，这在当时的数学界无疑是一个石破天惊的创造，标志着一个全新的东西已经出现了。当时康托尔正在因特拉肯度蜜月，正好戴德金也在那里，他们经常在一起交流，戴德金可以说是康托尔当时唯一一个了解自己学说的数学家了。同年他又构造了实变函数论中著名的"康托尔集",给出测度为零的不可数集的一个例子。他还巧妙地将一条直线上的点与整个平面的点一一对应起来，甚至可以将直线与整个n维空间进行点的一一对应。从1879年到1883年，康托尔写了六篇系列论文，论文总题目是"论无穷线形点流形"，其中第五篇论文后来以单行本出版，单行本的书名《一般集合论基础》。康托尔的信条是："数学在它自身的发展中完全是自由的，对他的概念限制只在于：必须是无矛盾的，并且与由确切定义引进的概念相协调。……数学的本质就在于它的自由。"

康托尔集的构造

康托尔在他的集合论中谈到：实数集合是不可列的。由于实数集合是不可列的，而代数数集合是可列的，于是他得到了必定有超越数存在的结论，而且超越数"大大多于"代数数。这就引发了另外一个概念"超穷数理论"。在他的单行本《一般集合论基础》中的主要成果就是引入了超穷数概念。在书中，康托尔还给出了良序集和无穷良序集编号的概念，指出整个超穷数的集合是良序的，而且任何无穷良序集，都存在唯一的一个第二数类中的数作为表示它的顺序特性的编号。康托尔还借助良序集定义了超穷数的加法、乘法及其逆运算。

集合论基础

康托尔的理论是自芝诺以来人类第一次给"无穷"建立起抽象的形式符号系统和确定的运算，它从本质上揭示了无穷的特性，使无穷的概念发生了一次革命性的变化，并渗透到所有的数学分支，从根本上改造了数学的结构，促进了数学的其他许多新的分支的建立和发展，成为实变函数论、代数拓扑、群论和泛函分析等理论的基础，还给逻辑和哲学带来了深远的影响。但是康托尔在他的无穷数理论中的推理过程中大部分都是非构造性的，这在克罗内克这种宣称"上帝造了整数"，恨不得"把全部数学从代数到分析都实现算术化"的人看来，无疑是疯狂的。于是他开始利用手边的一切武器猛烈并恶毒地攻击康托尔本人还有他的理论，最终导致的结果就是克罗内克没有能摧毁康托尔的理论，但是他的确摧毁了康托尔本人（从之前的介绍中我们就可以知道，康托尔是个很不自信的人，很容易陷入自我否定和怀疑中）。1884年，康托尔第一次精神崩溃，在他随后的岁月中，这种崩溃反复发作，以至于精神病所成为了他的避难所。康托尔后来转而研究神学和哲学，只是在精神状态略有好转的时候，继续他的集合论的研究工作。

克罗内克

康托尔于1918年在哈雷的精神病院去世，他最后得到了荣誉和承认。随着新世纪的到来，人们逐渐认识到集合论的重要性。希尔伯特高度赞誉康托尔的集合论"是数学天才最优秀的作品"，"是人类纯粹智力活动的最高成就之一"，"是这个时代所能夸耀的最巨大的工作"。在1900年第二届国际数学家大会上，希尔伯特高度评价了康托尔工作的重要性，并把康托尔的连续统假设列入20世纪初有待解决的23个重要数学问题之首。