数学怪象：为什么很多和圆没关系的公式里却都含有π？

同心学堂 2019-12-03 23:37:37

从物理的角度给你做一个类比。其实，学物理学到一定的境界，你会发现物理中只有两个速度，一个是速度等于0，另外一个是速度等于光速。为什么会这样？因为如果一个速度不等于光速的物体，我们把参考系改到这个物体本身，就可以发现这个物体的速度等于零。所以，在物理中，与速度有关的常数其实只有一个，那就是光速。而且速度的这个世界是一个二进制的世界，要么0，要么光速。

在数学中，也有类似的现象，表面上我们看到有很多数，但真正有重要意义的数只有圆周率与欧拉自然常数等少数几个数——这些常数一般是无理数，但它们是有几何意义的，而且都与无限求和有关。比如我们把自然数的平方的倒数和求出来，就会自然出现圆周率。那么问题来了，正如你所说，为什么要出现圆周率？1994年，有一个叫john. tate的哈佛大学教授提出了所谓的动机理论。在这个理论中，黎曼函数起到了最基础的作用。这个理论中，有人研究了费曼图，发现费曼图中的环圈的数量与一个叫做权重的数学概念有关。所有权重等于0的周期对应着代数数。而圆周率这样的数对应的权重是2。黎曼级数的权重是比2大的各个偶数。在这个理论中，按照权重来分类，这个世界的数学结构也很简单。我们日常生活中遇见的很多问题与圆周率有关，本质上就是权重为2。

不只数学公式，更重要是物理公式，只要有π，就必然与旋转运动有关。旋转，包括自旋与绕旋或进动，正是一切运动的根本特征。

例1：欧拉公式：e^iπ=-1，意味着自然螺旋沿着单位元(R=1)切向逆时针旋转180°，等效于直线坐标系的单位1反向位移1个单位(-1)。

例2：正弦函数值：sinπ/6=1/2，意味着在平面直角坐标系中，单位1逆旋30°后在纵轴上的投影值。

例3：狄拉克常数：hbar=h/4π，也叫约化普朗克常数，意味着线性动量距h=mcλ旋转圈。

深层蕴涵：在正负电子湮灭反应中，临界光子的波长，即电子康普顿波长λ*=2.42e-12m，可折换成球形光子半径：r*=λ*/2π=3.9e-13m，可推导普朗克常数：h=m*cλ*=6.63e-34Js。

例4：加速度定律：F=mv/r=m(2πω)/r，意味着，当物系所受合外力为零时，物系的运动状态，要么处于静止，要么作匀速圆周运动或测地线循环。

温馨提示：数学常数，原本来自对物理实验的参数大数据统计结果。要学会解释数学常数的几何意义乃至物理意义。

π 的定义最早是由圆来引出的，但是这并不意味着它一定和圆关联。

现代数学揭示出，π 广泛存在于数学的角角落落，甚至概率论中都有它的身影。

这意味着 π 的意义远不止于圆， π 与圆关联只是一种表象。

在现代，我们甚至可以抛弃它的原始定义（周长直径之比），从各个角度给它新的定义。只有这些新定义的出现，才能使我们从不同角度更深刻地理解其内涵