作者:艾伯史密斯
答:这个问题的回答,比较复杂,我逐一解释。
著名的古希腊三大几何问题,分别是:倍立方,画圆为方,三等分任意角。
三大难题历经2000多年后,人类才知道是不能用尺规作图完成的。
要理解其根本原因,我们需要来了解尺规作图的原理,相信看完后,你自然明白三大几何难题不成问题的原因。
首先,我们利用尺规作图,很容易平分一条线段,甚至还可以对所有正整数开根号。
比如,作1×1的直角三角形,然后连接对角线,可以得到根号2:
继续以对角线为一边,作另一边为1的直角三角形,连接新的对角线,就可以依次得到所有正整数的开方。
那我们的问题来了!
对于一条任意长的线段,比如长度a,那么我们可以作,长度为“根号a”的线段吗?
答案是可以的,但是对于一条直线,我们必须指定单位长度,不然对未知长度的直线开根号,是没有意义的。
这就是尺规作图的极限——对任意已知长度的线段,开2次根号,但是你永远无法利用尺规作图,得到一般的3次开方数,比如3次根号2。
那么我们就可以回答,开篇的问题了。
1、倍立方的本质,是作3次根号2;
2、画圆为方的本质,是作圆周率π;
3、三等分任意角的本质,是三倍角公式下的一元三次不定方程,作其解。
我们知道圆周率是超越数,所以不可能尺规作图得到;而那个一元三次方程,其解是会得到超出2次根号数的,所以不可能所有的角度都能尺规作图三等分。
在19世纪初,法国数学家伽罗瓦,首先证明了倍立方和画圆为方不成问题;1882年,林德曼等人,证明了圆周率的超越性,否定了画圆为方问题。
在上世纪,那时的《北京晨报》,发表消息称某位国人耗费14年,解决了三等分角,这一事件还在国内外引起轰动,可不久,人们就发现他的证明是错的。
甚至到了上世纪70年代,中国科学院每年都能收到一箩筐研究三等分角的稿件,最后不得不在权威杂志,《数学通报》上发布通告称:三等分任意角的尺规作图,是不可能的,这一命题早在200多年前,被伽罗瓦所证明。
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