数学史话之天生的数学家庞加莱

吉林省科技馆 2018-04-16 05:41:46

在第一次世界大战期间，一个军官--他是个狂热的民主主义者--问勃兰特·罗素：法国现在最伟大的人是谁？罗素不假思索地说：庞加莱。是那个家伙？怎么可能。那个军官大声地喊了出来。罗素立即明白了这个军官惊讶的原因，于是他解释说：不是你想的那个法国总统雷蒙·庞加莱，而是他的堂弟亨利·庞加莱。那么，亨利·庞加莱（下面庞加莱都指亨利·庞加莱）究竟做了什么，能让罗素这样的大神如此推崇呢？就让科普君带你一起走进庞加莱的世界吧。

亨利·庞加莱

于1854年出生在法国的南锡，他的祖父当年在拿破仑的手下当个了军医，1817年开始在鲁昂定居。庞加莱的父亲也是当地一个著名的医生，还是南锡大学医学院的教授，庞加莱的母亲是个善良、才华出众的女性，她把所有的精力都倾注在了孩子的教育上。庞加莱的叔叔有两个孩子，其中之一就是前面说到的雷蒙·庞加莱。据说庞加莱的脑袋特别大，以至于希尔维斯特有一次见到他的时候，感觉到庞加莱的脑袋如同"水牛般大小"。庞加莱在5岁的时候，因为生了白喉而严重影响了健康，他只能待在家里，而不是跟小朋友们一起出去玩耍。

美丽的南锡

庞加莱在家里的唯一娱乐就是阅读，他的记忆力超强，一旦他读过一本书--以一种不可思议的速度--他会终生都记得它。据说这叫视觉记忆或者空间记忆，欧拉也有这种记忆能力，不过比庞加莱稍微差点（在科普君的印象中，似乎sheldon也有这种能力）。不过庞加莱的视力非常差，这或许就是他记忆力好的一个原因，因为他在上课的时候根本看不清老师在黑板上写的东西，所以只能靠听，听到多少都能记住。庞加莱自己就曾经说过：数学家都是天生的，而不是造就的（看到这句话，绝望不？）。庞加莱跟很多数学家一样，总是处在一种心不在焉的状态中，随时都有可能无视眼前的一切，然后沉浸在自己的世界中而无法自拔。他从小学的时候就开始喜欢数学，而且他还有一个癖好：他在思考数学的时候，总是不停地在踱步，而且他要等一切都想好以后才会写下来。1870年，庞加莱16岁的时候，普法战争爆发了，侵略者的行径让庞加莱成了一个坚定的爱国者，在这点上，和库默尔有点类似。

DR. Sheldon Cooper

1873年，庞加莱考入了巴黎综合理工大学，据说当时考试的时候，主考人听说了庞加莱的名声，于是特地单独给他设计了一套考题，但是庞加莱还是很快就做出来了，两个人还很愉快地讨论了这道题目。看来法国的数学主考人自从毁了伽罗瓦，又差点毁了埃尔米特之后，终于长了点记性了。

在巴黎综合理工大学，庞加莱除了在数学上显示了卓越的才气之外，在其他方面简直是惨不忍睹，包括体育、军训、绘画等。庞加莱师从著名数学家查尔斯·厄米特，并发表了他第一篇学术论文。后来庞加莱继续跟随厄米特攻读博士学位。1875年，庞加莱毕业后进入了南锡矿业大学继续学习数学和采矿，毕业后，他加入了法国矿业集团成为法国东北部矿产区的一名巡视员，与此同时，庞加莱继续在厄米特的指导下从事研究。

巴黎综合理工大学

庞加莱的创作时期就是从1878年他的博士论文开始的，一直到他1912年去世为止，在这34年的时间里，他一共创作了500多篇关于新数学的文章，另外还有30多部包括数理物理学、理论物理学和理论天文学的著作，这还不包括他的哲学名著和一些通俗文章。庞加莱从来都不是高斯那种"少点，但一定要成熟"的人。庞加莱的成果是如此的丰富，以至于想要把他的成果都说一遍的话，就得是第二个庞加莱，所以科普君在这里只对他的最著名的理论中选取那么几个来简单论述一下。

庞加莱第一个非常著名的研究领域是在微分方程理论方面，他把分析学的方法应用于微分方程。庞加莱在1878年创立自守函数理论，他引进了富克斯群和克莱因群，构造了更一般的。他利用后来以他的名字命名的级数构造了自守函数，并发现这种函数作为代数函数的单值化函数的效用。到了1880年，他发现了椭圆函数的推广，并于1883年提出了一般的单值化定理。同年，他进而研究一般解析函数论，研究了整函数的亏格及其与泰勒展开的系数或函数绝对值的增长率之间的关系，它同皮卡定理构成后来的整函数及亚纯函数理论发展的基础。后来，庞加莱又发表了四篇关于微分方程所确定的积分曲线的论文，并以此创立了微分方程的定性理论。他研究了微分方程的解在四种类型的奇点（焦点、鞍点、结点、中心）附近的性态。他提出根据解对极限环（他求出的一种特殊的封闭曲线）的关系，可以判定解的稳定性。

自守函数

这些东西都是他在30岁之前做的分析学中的一部分，然而他的研究内容远不是一个分析学所能包括的，数论、代数、数理天文学都是他研究的对象。在数论中，他以几何形式重新建立了双二次形式的高斯理论。而在天文学中，由于在1885年瑞典国王奥斯卡二世设立"N体问题"奖，引起庞加莱研究天体力学问题的兴趣。他首先解决了三体问题的周期解的问题，然后继续深入研究，最终的成果给N体问题的解决以及动力系统的研究带来巨大而无比深刻的影响：首先，他证明了对于N体问题在N>2时，不存在统一的第一积分。也就是说即使是一般的三体问题，也不可能通过发现各种不变量最终降低问题的自由度，把问题化简成更简单可以解出来的问题，这打破了当时很多人希望找到三体问题一般的显式解的幻想。其次，他为了研究N体问题，发明了许多全新的数学工具。例如不变积分的概念，并且使用它证明了著名的回归定理；第一回归映象的概念，在后来的动力系统理论中被称为庞加莱映象。特征指数，解对参数的连续依赖性等等。最后，庞加莱通过研究所谓的渐近解，同宿轨道和异宿轨道，发现即使在简单的三体问题中，在这样的同宿轨道或者异宿轨道附近，方程的解的状况会非常复杂，以至于对于给定的初始条件，几乎是没有办法预测当时间趋于无穷时，这个轨道的最终命运。这为后来混沌理论的创立打下了坚实的基础，

蝴蝶效应

庞加莱用括去法证明了狄利克雷问题解的存在性，这一方法后来促使位势论有新发展。他还研究拉普拉斯算子的特征值问题，给出了特征值和特征函数存在性的严格证明。他在积分方程中引进复参数方法，促进了弗雷德霍姆理论的发展。庞加莱还发表了一系列论文，在论文中建立了组合拓扑学。他还引进贝蒂数、挠系数和基本群等重要概念，创造流形的三角剖分、单纯复合形、重心重分、对偶复合形、复合形的关联系数矩阵等工具，借助它们推广欧拉多面体定理成为欧拉--庞加莱公式，并证明流形的同调对偶定理。

庞加莱被人称为最后一个通才，他曾教授过的课程包括物理、实验力学、数学物理、概率论、天体力学和天文学。一个有趣的小插曲足以证明庞加莱在当时的地位：当军政部长下令砍掉"没用的天文学"课程时，庞加莱说"我来教这门课"，官员们就只好闭嘴了，因为谁也不敢阻拦庞加莱开设任何科学课程。

庞加莱的一生中在数学和物理的各个领域都有建树，其中以其本人命名的科学发现就有庞加莱球面、庞加莱映射、庞加莱引理等。曾有人说：把一个微分几何学家和广义相对论学家从睡梦中摇醒，问他什么是庞加莱引理。假如答不出来，那他一定是假的。

最后，介绍一下庞加莱猜想：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。随后，他又将这个猜想修改为："任何与n维球面同伦的n维封闭流形必定同胚于n维球面。"这就是 "高维庞加莱猜想"。大于等于五维的庞加莱猜想被斯蒂芬·斯梅尔证明；四维的庞加莱猜想被迈克尔·弗里德曼证明；三维的庞加莱猜想被俄罗斯数学家佩雷尔曼于2002-2003年证明。另外说一下，这个佩雷尔曼是个神人，他因为证明了庞加莱猜想而获得2006年的菲尔兹奖，但是他并没有去领奖，他如同隐士一样生活。

佩雷尔曼