学过高数的人，这一辈子都不会忘记这个定理

原创 超级数学建模

你听说过

夹逼准则吗

前几天的文章中，超模君介绍了拓扑中的一个有名定理——火腿三明治定理，聪明的模友们想起了另一个跟它很相似的定理——三明治定理（又叫夹逼准则）。

说起这个定理，超模君立马回想起当年的高数课堂……

“接下来我们来讲一讲夹逼准则”，话音刚落，沉浸在睡梦中的同桌突然惊起，接下来如同多米诺骨牌那样，睡着的同学都醒来了。大家议论纷纷。

“什么？夹逼？我没听错吧！”男生们露出了史上最纯洁的笑容，女生们脸红耳赤，相信耳听为虚，眼见为实，可是她们看了看课本后，都希望眼见不一定为实。

好了，那么它是怎么来的呢？是谁给他起个这么污的名字？

超模君查了很多资料，关于它的历史不详，只知道它是最初由阿基米德（Archimedes）和欧多克索斯（Eudoxus）用来计算圆周率π，后来经高斯发展成现在的定理形式。除了夹逼准则和三明治定理外，它还有许多叫法：两边夹定理、夹挤定理、迫敛法、两个警察和醉囚犯定理等，其中夹挤定理应该是最接近它的英文名字了（Squeeze Theorem）。

通过圆内外接正多边形的方法求解π（夹逼准则的思想）

说了这么久，只知其名，不知其所云，我们不能做名词党啊！

夹逼准则，说简单点，就是高中的放缩法（变大变小）加上大学的极限思想。更通俗一点，假如你的哥哥（姐姐）和弟弟（妹妹）都是同一天出生的，那么证明你也是那天出生，并且你们是三胞胎。

我们先来看一个小栗子，再给出夹逼准则的定义。

首先在图像上画出下面的三兄弟：

它们是有大小关系的，其中h是老大，g是老二，f最小，是老三。虽然三娃性格差异较大，但总有共同点，毕竟是同一个妈生（坐标轴）。

为了找出这个共同点，我们取一下在x=2这点处的极限（也就是让一个点无限靠近2所对应的函数值）。我们先来计算老大h(x)和老三f(x)，由图像可以观察到，在x=2处的极限值就等于该点的函数值，我们马上可以知道：

于是我们得到了这个共同点，就是点F(2，1)。或许有人会问，怎么不用计算老二的极限值呢？这就引出了我们的主角——夹逼准则：

我们用西游记来总结一下上面的定理：

八戒有难，呼叫悟空和沙憎。

兄弟同心，斩除妖魔救八戒。

大意是：g(x)的极限求不出来(八戒有难)，可以找到他的老大(孙悟空)和老三(沙憎)，只要它们两个的极限算出来了(一起斩除妖魔)，那么g(x)的极限自然出来了(八戒自然获救)。

虽然夹逼准则这个名字简单易记，但是它所解决的难题，都是那种面目狰狞、身材魁梧的变态题目，利用它在繁琐的表达式中迅速掌握对手的命门，化繁为简，以夺命剪刀脚紧紧将对手夹在中间，使其无力反抗，只好跪地投降！

我们来看一个栗子，大家可以动动脑筋思考一下：

二话不说，先写一个解字。第一眼看上去，无法直接代入，第二眼看上去，无法化简，第三眼，不看了，想打出题老师。别急，当遇到难题的时候，记得找老大和老三。首先这个和有n项，我们比较它们每一项的大小，可以发现：原来老大和老三就在身边！

老大在，仿佛看到了胜利的曙光。现在，我们把每一项都看作老大，然后每一项都看作老三，这样就形成了三兄弟关系链（本质上利用了放缩法）

兄弟同心，其利断金，极限神马的，放马过来吧！

对上式的左右两端取极限，得到都是1，由夹逼准则，立即推，原极限也为1。搞定。

下面两组图是使用夹逼准则的经典极限（令x趋于0），模友们看出来了吗？

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