线性代数被高数感染，也开始变……了

原创 超级数学建模 2018-04-19 23:16:00

正交矩阵，

只是一个矩阵！

不好意思，你们要的老大被我正交了。

谈起正交变换，不知道模友们是否记得之前一篇文章——如何通过心形线快速认识秩的几何意义？里面提到一位很牛逼的数学家费罗贝尼乌斯(F.G.Frobenius，1849-1917)。

他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。

没错，今天要讨论的就是他的贡献之一，正交矩阵与正交变换。

故事开始，先从代数角度理解一下正交矩阵。

其实很简单，我们找到两个相同的矩阵Q，它们一起睡觉，一个躺着睡（仰卧），一个翻转过来睡（俯卧），通过一晚上的成长，早上起来它们生出了一个简单又特殊的矩阵——单位矩阵（主对角线都是1，其余为0），因此就称Q为正交矩阵。

站在更高角度看，我们把n阶正交矩阵全体和矩阵乘法运算看成一个正交群，记作O(n)。如果这些正交矩阵的行列式恰好都是1，那就更特殊了（因为它们的娃单位矩阵行列式也是1，有种遗传性能的感觉），我们称之为特殊正交群，记作SO(n)。

下面我们举一个栗子，验证一下二维旋转矩阵是不是正交矩阵

它们一起睡觉，开始造人了

这样就得到了结论：旋转矩阵就是正交矩阵。

模友们可以通过简单运算判断下面这个矩阵是否是正交矩阵(看看谁能最快算出来)

我相信，中国的最强大脑在这里！

那接下来，再从几何角度理解一下正交变换。

先给出一个大家非常熟悉的定义：

这段比较通俗的正交变换解释出自于在同济大学的《线性代数》教材上（如果想不起来那有可能上课睡过去了

），当然，超模君觉得它十分不严格，如果要严格版本，就没有那么显然易懂了：

正交变换就是一个保持内积的线性变换φ，它从V映到V，其中V为实内积空间。具体的，对任意向量u，v∈V，我们有（其中(u,v)表示内积）。

我们也知道，正交变换能保持三角形形状不变，这让超模君想到了正交变换中的平移和旋转变换。

确实！通过平移或旋转，不会改变三角形的形状。

那正交变换的优良是什么梗？

那是因为它还有许多不变的性质，称之为忠心耿耿变换再好不过了。

点、线、面的全家福

点、线、面正是吃了正交变换这颗“仙丹”，使它们保持身体健康青春有活力：

正交变换把点变为点，直线（线段）变为直线（长度相等的线段），把平行线变为平行线，把共线（不共线）三点变为共线（不共线）三点；保持直线夹角不变，最下面三个图形经过正交变换后形状、大小完全不变（全等）。

多么漂亮优美的性质啊！试想一下，换成别的变换，哪怕是一个正方形，变换过去就“面目狰狞，六亲不认”了。

如果登场的是一个出身不菲的大佬……

怪形

怎么是凸的？看着不爽，我们先移动节点让它每两条直线都不香蕉

（相交）吧：

最强大脑现场

那么通过正交变换后，这个图形的形状和大小会改变吗？

没有思路？我们连几条辅助线就豁然开朗了：

好了，超模君要问一个问题了，原来的怪形，通过正交变换，形状也会不变吗？

最后来说说正交变换（矩阵）的应用。计算机中使用的软件工具无不离开强大的数学原理，图像处理也不例外，这在之前的特征向量文章中就有提及过。

用矩阵表示图像，构造正交均值差分变换矩阵，通过矩阵的乘法对原始图像进行正交变换，进一步取阈值，我们只存储绝对值大于阈值的系数（删去矩阵上一些系数），来实现数据图像的压缩。我们来看一组图片：

小猫原始图像及不同阈值下的解码图像

可以看到，虽然猫越来越模糊，但仍然不失真，不会把猫变成一只狗，通过最后一幅图片我们还是可以辨别它就是猫。

这让超模君想起了经常使用的动图压缩工具，如果动图时间越长，压缩出来的图像就越是av画质了，可以看到下面一张动图，压缩前是一个旋转，压缩后就像打雷一样。

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